Άλυτα προβλήματα. Ένα πρόβλημα θα λυθεί όταν γίνει πιο δύσκολο

Η φράση «Η Υπόθεση Ρίμαν είναι το Άγιο Δισκοπότηρο των μαθηματικών» είναι μια μεταφορά. Δεν έχει κάποια σχέση με τη θρησκεία, αλλά θεωρείται το πιο διάσημο, το πιο δύσκολο και το πιο γνωστό άλυτο πρόβλημα των μαθηματικών. Το Άγιο Δισκοπότηρο (Holy Grail), σύμφωνα με τη χριστιανική παράδοση και τους μεσαιωνικούς θρύλους, ήταν το ποτήριο που συνδέθηκε με τον Μυστικό Δείπνο και αργότερα με τη Σταύρωση του Χριστού. Στους θρύλους των Ιπποτών της Στρογγυλής Τραπέζης, η αναζήτησή του έγινε το ύψιστο ιδανικό. Iππότες αφιέρωσαν τη ζωή τους για να το βρουν, αλλά ελάχιστοι τα κατάφεραν. Η έκφραση «Άγιο Δισκοπότηρο» χρησιμοποιείται μεταφορικά για κάτι που είναι εξαιρετικά δύσκολο να αποκτηθεί ή να λυθεί. Θεωρείται το σημαντικότερο πρόβλημα ενός κλάδου, προσελκύει τους ικανότερους ερευνητές, και όποιος το καταφέρει αποκτά τεράστια αναγνώριση. Αυτό συμβαίνει με την Υπόθεση Ρίμαν. Από το 1859, εκατοντάδες από τους σπουδαιότερους μαθηματικούς του κόσμου προσπάθησαν να την αποδείξουν ή να τη διαψεύσουν, χωρίς επιτυχία. Η σημασία της είναι τόσο μεγάλη, ώστε το Clay Mathematics Institute την έχει συμπεριλάβει στα επτά Προβλήματα της Χιλιετίας και προσφέρει έπαθλο 1 εκατομμυρίου δολαρίων για την απόδειξη.

Παράδειγμα: Έστω ότι υπάρχει ένα πανύψηλο βουνό που οι καλύτεροι ορειβάτες του κόσμου προσπαθούν να ανέβουν από το 1859, εδώ και 167 χρόνια. Όλοι έχουν φτάσει πολύ ψηλά, κανείς όμως δεν έχει πατήσει ακόμη στην κορυφή. Η κορυφή αυτή είναι η «Υπόθεση Ρίμαν.».

Η Υπόθεση Ρίμαν δεν αναφέρεται μόνο στη δυσκολία της, αλλά και στο κύρος που θα αποκτήσει όποιος τη λύσει. Μια επιτυχής απόδειξη θα αποτελούσε ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα στην ιστορία των μαθηματικών και θα επηρέαζε τη θεωρία των πρώτων αριθμών και πολλούς άλλους κλάδους της μαθηματικής επιστήμης. Η Υπόθεση Ρίμαν ή εικασία Ρίμαν είναι ένα από τα σημαντικότερα άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά, ισχυρίζεται ότι όλες οι μη τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης έχουν πραγματικό μέρος ακριβώς ίσο με ½, κάτι που ξεκλειδώνει τον μυστηριώδη τρόπο κατανομής των πρώτων αριθμών. Η εικασία ορίζει ότι όλες οι μη τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης ζήτα (Riemann zeta function) βρίσκονται πάνω σε μία συγκεκριμένη ευθεία στο μιγαδικό επίπεδο, η οποία έχει πραγματικό μέρος ½. 

-Κρυπτογραφία: Η κατανομή των πρώτων αριθμών αποτελεί το θεμέλιο της σύγχρονης διαδικτυακής ασφάλειας και της κρυπτογραφίας.

-Η συνάρτηση «ζήτα» έχει δύο κατηγορίες ριζών. Τις τετριμμένες ρίζες που είναι γνωστές εδώ και πολύ καιρό και βρίσκονται στους αρνητικούς άρτιους ακεραίους: −2, −4, −6, −8,…-2,\,-4,\,-6,\,-8,\ldots−2,−4,−6,−8,.. Ονομάζονται τετριμμένες επειδή η ύπαρξή τους εξηγείται σχετικά εύκολα από τον τύπο της συνάρτησης. Οι μη τετριμμένες ρίζες είναι όλες οι υπόλοιπες ρίζες και βρίσκονται σε μια κατακόρυφη λωρίδα του μιγαδικού επιπέδου και είναι εξαιρετικά δύσκολο να μελετηθούν. Η Υπόθεση Ρίμαν αφορά αποκλειστικά αυτές.

Ένας μιγαδικός αριθμός γράφεται, s=a+bi,s=a+bi,s=a+bi, όπου, aaa είναι το πραγματικό μέρος, bbb είναι το φανταστικό μέρος, i=−1i=\sqrt{-1}i=−1.

Παραδείγματα μιγαδικών αριθμών: 3+5i3+5i3+5i, πραγματικό μέρος = 3, φανταστικό μέρος = 5

Η Υπόθεση του Ρίμαν ισχυρίζεται ότι όλες οι «μυστηριώδεις» ρίζες δεν είναι διάσπαρτες στη λωρίδα 0<Re⁡(s)<10<\operatorname{Re}(s)<10<Re(s)<1, αλλά ευθυγραμμίζονται ακριβώς πάνω στην κατακόρυφη γραμμή. Ο Ρίμαν είπε κάτι εκπληκτικό: « Όλες οι μη τετριμμένες ρίζες βρίσκονται ακριβώς πάνω στην ίδια κατακόρυφη γραμμή.». Καμία δεν βρίσκεται δεξιά ή αριστερά από αυτή τη γραμμή...

Η δυσκολία της Υπόθεσης του Ρίμαν δεν είναι να βρεθούν μερικές λύσεις, αλλά να αποδειχθεί ότι όλες οι λύσεις ενός συγκεκριμένου μαθηματικού προβλήματος υπακούουν στον ίδιο κανόνα.

Παράδειγμα: Φανταζόμαστε έναν άπειρο ουρανό γεμάτο αστέρια. Οι αστρονόμοι έχουν ανακαλύψει ότι όλα τα αστέρια που έχουν εξετάσει μέχρι σήμερα βρίσκονται πάνω στην ίδια ακριβώς κατακόρυφη γραμμή. Έχουν ελέγξει δισεκατομμύρια από αυτά και κανένα δεν βρίσκεται αλλού. Το ερώτημα όμως είναι: Μήπως υπάρχει κάπου, πάρα πολύ μακριά, ένα μόνο αστέρι που ξέφυγε από τη γραμμή; Η Υπόθεση του Ρίμαν λέει ότι δεν υπάρχει ούτε ένα. Όλα βρίσκονται ακριβώς πάνω στη συγκεκριμένη γραμμή. Το πρόβλημα είναι ότι τα «αστέρια» εδώ είναι οι μη τετριμμένες ρίζες της συνάρτησης ζ του Ρίμαν, και είναι άπειρες. Δεν αρκεί να ελέγξεις εκατομμύρια ή τρισεκατομμύρια περιπτώσεις. Πρέπει να αποδείξεις ότι αυτό ισχύει για όλες, ακόμη και για εκείνες που δεν θα μπορέσει ποτέ κανείς να υπολογίσει.

Ένα ακόμη παράδειγμα. Γράφεις τους αριθμούς: 2, 4, 6, 8, 10, 12... Μετά από δισεκατομμύρια αριθμούς, όλοι είναι άρτιοι. «Είσαι βέβαιος ότι και ο επόμενος, και όλοι οι επόμενοι μέχρι το άπειρο θα είναι άρτιοι;» Δεν αρκεί να πεις «τους κοίταξα όλους όσους μπορούσα». Πρέπει να δώσεις μια απόδειξη που να εξηγεί γιατί είναι αδύνατο να εμφανιστεί κάποτε ένας περιττός. Αυτό ακριβώς λείπει στην Υπόθεση του Ρίμαν: η απόδειξη. Η Υπόθεση Ρίμαν προσπαθεί να αποδείξει ότι μέσα στο φαινομενικό χάος των πρώτων αριθμών κρύβεται μια απόλυτη τάξη.