Δύσκολο το τύλιγμα των δώρων - Κι όμως, τα μαθηματικά μπορούν να σας βοηθήσουν να το κάνετε καλύτερα

Έχετε διαλέξει προσεκτικά τα δώρα για τα Χριστούγεννα. Έχετε ψαλίδι, σελοτέιπ και ακόμη και ρολά περιτυλίγματος - όλα έτοιμα. Για όλους όμως το δώρο καταλήγει συνήθως τυλιγμένο χαοτικά, μέσα σε ένα συνονθύλευμα χαρτιού και ταινίας.

Ίσως γι’ αυτό το τύλιγμα χριστουγεννιάτικων δώρων είναι μια δουλειά που λίγοι απολαμβάνουν πραγματικά. Φέτος, όμως, ίσως θελήσετε να προσθέσετε χάρακα και κομπιουτεράκι στα εορταστικά σας εργαλεία. Ήρθε η ώρα να επιστρατεύσετε τη δύναμη των μαθηματικών αυτά τα Χριστούγεννα.

Σκεφτείτε διαφορετικά

Ίσως τα πιο εύκολα δώρα στη λίστα σας να είναι τα κουτιά σε σχήμα κύβου. Παρ’ όλα αυτά, πολλοί δυσκολεύονται ακόμη και σε αυτό το απλό σχήμα να κόψουν τη σωστή ποσότητα χαρτιού. Συχνά περισσεύει πολύ χαρτί που διπλώνεται άτσαλα στις άκρες ή, αντίθετα, δεν φτάνει και χρειάζεται «χειρουργική» παρέμβαση για να προστεθεί ένα κομμάτι ώστε να καλυφθεί πλήρως το δώρο.

Υπάρχει, ωστόσο, ένας κομψός μαθηματικός τύπος που ανέπτυξε η Sara Santos, μαθηματικός στο King’s College London, ο οποίος βοηθά όχι μόνο στη μείωση της σπατάλης χαρτιού, αλλά και στο να ταιριάζουν τα μοτίβα στις ενώσεις.
Πρώτα μετρήστε το ύψος του κουτιού και πολλαπλασιάστε το επί 1,5. Έπειτα μετρήστε τη διαγώνιο της μεγαλύτερης πλευράς του κουτιού, από γωνία σε γωνία, και προσθέστε τα δύο μεγέθη. Το αποτέλεσμα σας δίνει τις διαστάσεις ενός τετραγώνου χαρτιού περιτυλίγματος που πρέπει να κόψετε.

Για παράδειγμα, αν τυλίγετε έναν κύβο με διαγώνιο 4,5 εκ. και ύψος 3 εκ., χρειάζεστε ένα τετράγωνο χαρτιού 9 × 9 εκ. Αλλά εδώ έρχεται το έξυπνο σημείο…

Τοποθετήστε το δώρο πάνω στο χαρτί έτσι ώστε να «κάθεται» διαγώνια στο κέντρο. Στη συνέχεια, φέρτε προσεκτικά τις τέσσερις γωνίες του χαρτιού προς το κέντρο, διπλώνοντας τα μικρά «αυτιά» στις γωνίες του κουτιού κάτω από τα μεγαλύτερα φύλλα. Θα χρειαστείτε μόλις τρία μικρά κομμάτια σελοτέιπ, ενώ αν χρησιμοποιείτε χαρτί με ρίγες, το μοτίβο μπορεί ακόμη και να ευθυγραμμιστεί στις ενώσεις.

Αυτή η μέθοδος μπορεί να λειτουργήσει μερικές φορές και για ορθογώνια παραλληλεπίπεδα. «Ωστόσο, αν το χαρτί είναι τετράγωνο, δεν ισχύει πάντα ότι το διαγώνιο τύλιγμα είναι καλύτερο», λέει η Holly Krieger, καθηγήτρια μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ. Για παράδειγμα, ένα κουτί διαστάσεων 2 × 4 × 8 εκ. απαιτεί, με τη διαγώνια μέθοδο, τετράγωνο χαρτί 14 × 14 εκ., ενώ με τον συμβατικό τρόπο μπορεί να τυλιχθεί με τετράγωνο 12 × 12 εκ.

Το διαγώνιο «τρικ» είναι πιο χρήσιμο όταν έχετε ένα τετράγωνο κομμάτι χαρτιού που δεν φτάνει οριακά για να καλύψει έναν κύβο με τον παραδοσιακό τρόπο. Γυρίζοντάς τον διαγώνια, μπορεί τελικά να καλυφθεί. Παρόμοια, ορθογώνια φύλλα χαρτιού που δεν καλύπτουν πλήρως δώρα σε σχήμα κουτιού παπουτσιών μπορούν να «δουλευτούν» αν τοποθετήσετε το κουτί διαγώνια.

Η μέθοδος λειτουργεί μερικές φορές και για τριγωνικά πρίσματα. Αν μετρήσετε το ύψος του τριγώνου στο άκρο της συσκευασίας, το διπλασιάσετε και το προσθέσετε στο συνολικό μήκος του κουτιού, θα έχετε το ιδανικό μήκος χαρτιού ώστε να καλύψετε τα τριγωνικά άκρα με τρία διπλώματα για άψογο αποτέλεσμα.

Για να τυλίξετε ένα σωληνάκι με γλυκά ή άλλο κυλινδρικό δώρο με ελάχιστη σπατάλη, μετρήστε τη διάμετρο του κυκλικού άκρου και πολλαπλασιάστε την με το π (3,14…) για να βρείτε πόσο χαρτί χρειάζεται για να «αγκαλιάσει» το δώρο. Έπειτα μετρήστε το μήκος του κυλίνδρου και προσθέστε τη διάμετρο ενός κύκλου, ώστε να υπολογίσετε το ελάχιστο μήκος χαρτιού. Έτσι, το χαρτί θα συναντηθεί ακριβώς στο κέντρο κάθε κυκλικού άκρου και θα χρειαστεί μόνο ένα μικρό κομμάτι ταινίας για να στερεωθεί. Παρ’ όλα αυτά, καλό είναι να αφήνετε λίγο παραπάνω χαρτί για να αποφύγετε δυσάρεστες εκπλήξεις.

Αν έχετε αγοράσει μια μπάλα, τότε… καλή τύχη. Οι σφαίρες είναι ίσως το πιο δύσκολο σχήμα για τύλιγμα. Είναι αδύνατο να καλυφθεί μια μπάλα ομαλά με ένα φύλλο χαρτιού, όχι μόνο επειδή το χαρτί δεν είναι απεριόριστα εύκαμπτο, αλλά και λόγω του θεωρήματος της «τριχωτής μπάλας», εξηγεί η Sophie Maclean, επικοινωνιολόγος μαθηματικών και υποψήφια διδάκτορας στο King’s College London. Το θεώρημα λέει ότι είναι αδύνατο να «χτενίσεις» τις τρίχες μιας σφαίρας χωρίς να δημιουργηθεί τουλάχιστον ένα στροβίλισμα.

«Αν προσπαθήσετε να τυλίξετε μια μπάλα με χαρτί, δεν πρόκειται να πετύχετε λεία επιφάνεια παντού», λέει η Maclean. «Κάπου θα υπάρξει ένα εξόγκωμα ή ένα κενό. Προσωπικά, μου αρέσει να γίνομαι δημιουργική στο τύλιγμα και εδώ θα το αγκάλιαζα. Δέστε έναν φιόγκο γύρω της ή στρίψτε το χαρτί ώστε να μοιάζει με χριστουγεννιάτικο κράκερ ή καραμέλα».

Αν στόχος σας είναι η μέγιστη οικονομία υλικού, ίσως αξίζει να πειραματιστείτε με ένα τρίγωνο φύλλο αλουμινόχαρτου. Μια διεθνής ομάδα επιστημόνων μελέτησε πώς τυλίγονται αποδοτικά τα σοκολατάκια Mozartkugel –σφαίρες από μάρτζιπαν και πραλίνα καλυμμένες με μαύρη σοκολάτα– με μικρά κομμάτια αλουμινόχαρτου. Παρατήρησαν ότι η ελαχιστοποίηση της περιμέτρου μειώνει τη σπατάλη, καθιστώντας το τετράγωνο πιο αποδοτικό από ένα ορθογώνιο φύλλο ίδιας επιφάνειας.

Μια άλλη μέθοδος είναι τα «πέταλα» χαρτιού για την κάλυψη μιας σφαίρας – αν και για τέλειο αποτέλεσμα θα απαιτούνταν άπειρος αριθμός πετάλων. Οι ερευνητές διαπίστωσαν, ωστόσο, ότι το τύλιγμα με ισόπλευρο τρίγωνο είναι ακόμη πιο αποδοτικό. «Η εξοικονόμηση επιφάνειας 0,1% μπορεί να αποδειχθεί σημαντική για τα εκατομμύρια Mozartkugel που καταναλώνονται κάθε χρόνο», έγραψαν, υπολογίζοντας πιθανή μείωση υλικού έως και 20%.

Μέγιστη απόδοση χωρίς… κοψίματα

Όλοι έχουμε παλέψει με δύσκολα, ακανόνιστα δώρα, όπως μια κούπα – ένας ανοιχτός κύλινδρος με προεξέχουσα λαβή. «Δεν υπάρχουν στέρεα μαθηματικά που να περιγράφουν κάθε πιθανό σχήμα. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ο πειραματισμός είναι συχνά πιο χρήσιμος από την αυστηρή μαθηματική περιγραφή», λέει η Krieger.

Μια λύση είναι να συνδυάσετε ένα δύσκολο δώρο με κάποιο άλλο, ώστε να δημιουργήσετε ένα πιο κανονικό σχήμα που τυλίγεται ευκολότερα.

Το τύλιγμα δύο παρόμοιου μεγέθους δώρων μαζί είναι πιο αποδοτικό από το να τυλίγονται ξεχωριστά, καθώς απαιτεί λιγότερο χαρτί. Αντίθετα, το τύλιγμα δύο δώρων πολύ διαφορετικού σχήματος ή μεγέθους συνήθως απαιτεί περισσότερο υλικό.

Η υπομονή και η δοκιμή-σφάλμα είναι απαραίτητες όταν συνδυάζονται σχήματα – και ακόμη και οι μαθηματικοί δυσκολεύονται. Ορισμένα «προβλήματα συσκευασίας», όπως ο πιο αποδοτικός τρόπος να τοποθετηθούν όμοια τετράγωνα μέσα σε ένα μεγαλύτερο τετράγωνο ή ορθογώνιο, θεωρούνται «NP-hard», δηλαδή εξαιρετικά δύσκολα ή πρακτικά αδύνατο να λυθούν ακόμη και με τους ισχυρότερους υπολογιστές. Πρόκειται για έναν surprisingly ενεργό τομέα έρευνας.

Η τοποθέτηση σφαιρών ώστε να καταλαμβάνουν τον ελάχιστο δυνατό χώρο είναι επίσης εξαιρετικά περίπλοκη – δεν είναι λοιπόν περίεργο που δυσκολευόμαστε να τυλίξουμε αποδοτικά ένα σακουλάκι με μπάλες του γκολφ. Ευτυχώς, οι μαθηματικοί συνεχίζουν να αναζητούν τη βέλτιστη λύση, αν και μέχρι σήμερα φαίνεται πως απαιτεί μια μάλλον άναρχη, σχεδόν τυχαία προσέγγιση, μαζί με εντυπωσιακούς υπολογισμούς.

Η εξάσκηση στη μέθοδο της Sara Santos μπορεί να σας εξοικονομήσει χαρτί και σελοτέιπ – και να εντυπωσιάσει τους φίλους σας. Όμως, ακόμη και οι μαθηματικοί κάποιες φορές ενδίδουν σε συντομεύσεις όταν βρίσκονται μπροστά σε ιδιαίτερα δύσκολα δώρα.

«Μπορεί απλώς να αγοράσω ένα κουτί», αστειεύεται η Krieger.

Πηγή: BBC